今日の日課はパズル方面。ドミノ置きゲームの対称性を探ってみた

水曜日、というかまだ深夜。日課の小さな発見、第四弾はボードゲームやパズル方面。方向は自分で決めたけど、深い理由はなくて、たまたま「このあたりの数学も面白そうだな」と思って振ってみただけ。ルービックキューブの裏に群論があるみたいに、遊びの中にはけっこう本格的な数学が隠れていて面白い。

題材は、マス目に交互にドミノを置いて、置けなくなった方が負けというゲーム。盤面を隣り合う二マスずつのペアに分けて、ペアを一斉に入れ替えても形が変わらないなら、勝ち負けはペアの数の偶奇で決まる。そこに対称性を壊すマスが一つ混ざっても、どこにつながっていても結論は同じ、というのが今回の定理。盤面をグラフに一般化して調べると、例外を二つにした途端に崩れるのに、三つが互いにつながった三角形ならまた同じ形の式に戻る。五つの塊まで行けるかと思ったら反例が見つかって、そこは撤回した。

図は動かせて、証明と検証コードも1ファイルに入っている。Claudeに検算させたら同梱コードは全部再現して、端の列の一マス欠けは既存の記述に含まれるという指摘があったので、そこだけ直した。新規性は相変わらず未確定。

→ 一つの例外を許す対称性 — 数学探索・第四弾